Factorisation $V\, D\, V^{-1}$ d'une matrice

Les valeurs propres (eigenvalues) $\lambda_i$ d'une matrice A d'ordre n sont les n racines réelles ou complexes, distinctes ou confondues, du polynôme caractéristique

$$p_A(\lambda) = det(A-\lambda \, Id)$$

de la matrice A (où det est le déterminant et Id la matrice identité de la même dimension que A).

A toute valeur propres $\lambda_i$ d'une matrice A est associé (au moins) un vecteur v_i tel que

$$v_i \ne 0 \mbox{ et } A\, v_i = \lambda_i \, v_i$$

appelé vecteur propre de la matrice A, correspondant à la valeur propre $\lambda_i$.

• Décomposer la matrice A en une matrice V et D (D diagonale) telles que $A=V\, D\, V^{-1}$.
• Calculer A², A³, A⁴ et A⁵.
• Effectuer les mêmes calculs en utilisant des puissances de D, V et son inverse.