Factorisation QR d'une matrice

Étant donné une matrice A d'ordre n, il existe une matrice unitaire Q ($Q\, Q^*=Id$, avec Q^* la matrice adjointe : $(Q^*)_{ij}=\overline q_{ji}$)et une matrice triangulaire supérieure R telles que

$$A = Q\, R.$$

De plus, on peut s'arranger pour que les éléments diagonaux de la matrice R soit tous $\ge 0$. Si la matrice A est inversible, la factorisation $A=Q\, R$ correspondante est alors unique.

Si la matrice A est réelle, les matrices Q et R le sont aussi et donc la matrice Q est orthogonale.

• Écrire la factorisation QR de la matrice A.
• Écrire un programme pour résoudre $A \, x = b$ en n'utilisant que des boucles for, le produit matrice vecteur et la décomposition QR (on utilisera le fait que pour une matrice réelle, la matrice adjointe est égale à la matrice transposée).