Factorisation $L\, U$ d'une matrice

Soit A une matrice carrée d'ordre n telle que les n sous-matrices diagonales

$$\Delta_k = \left( \begin{array} {ccc} a_{11} & \cdots & a_{... ..._{k1} & \cdots & a_{kk}\end{array}\right), \quad 1 \le k \le n,$$

soient inversibles. Alors il existe une matrice triangulaire inférieure L avec $l_{ii}=1, \, 1 \le i \le n$ et une matrice triangulaire supérieure U telles que

$$A = L\, U.$$

De plus cette factorisation est unique.

• Créer une matrice A 7x7 aléatoire et vérifier qu'elle est inversible ainsi que ses 6 sous matrices $\Delta_k$.
• Faire sa factorisation LU en récupérant la matrice de permutation P telle que $P\, A = L\, U$ (voir la commande lu).
• Calculer le plus simplement possible la valeur absolue du déterminant de A sans utiliser la matrice A ni la commande det.
• Soit b=[1,2,3,4,5,6,7], écrire un programme pour résoudre $P\, A \, x = b$ en n'utilisant que des boucles for et la décomposition LU.