Écritures du produit scalaire

Voici 3 différentes facon d'écrire le produit scalaire. Certaines sont plus claires que d'autres mais on trouve les 3 dans la littérature.

${\bf v} \,.\, {\bf w}$

Dans la feuille d'exercice qui suit et dans la cours par la suite, il y a beaucoup de produits scalaire qui utilise le point. Il est important de noter l'ordre de résolution des opérateurs dans un formule comme

$$A \, {\bf v} \, . \, {\bf w}$$

• Si on fait $A ({\bf v} \, . \, {\bf w})$ alors le résultat est une matrice.
• Si on fait $(A {\bf v} )\, . \, {\bf w}$ alors le résultat est un réel.

Dans la majorité des cas et en particulier dans ce cours, c'est la 2e lecture qui est la bonne.

Danger

Cette écriture est dangereuse. Imaginez qu'on multiplie notre équation par $A^{-1}$. Alors on a envie d'écrire

$$ A^{-1} \, A \, {\bf v} \, . \, {\bf w} = {\bf v} \, . \, {\bf w} $$

mais c'est faux (dans le second cas) car on oublie sur quoi porte le point du produit scalaire.

${\bf v}^T \, {\bf w}$

La notation matricielle de l'exemple précédant s'écrit

$${\bf v}^T A \, {\bf w}$$

Dans ce cas on peut faire les calculs dans l'ordre de son choix. Si on commence par les 2 premiers on aura un vecteur horizontal, si on commence par les 2 dernièrs on aura un vecteur verctical. Cette notation est moins risquée lorsqu'on fait des calculs plus complexes.

Avec la notation matricielle ce risque n'exite pas puisque multiplier par $A^{-1}$ donne

$$ A^{-1} \, {\bf v}^T A \, {\bf w} $$

et on voit bien que les A ne se simplifient pas.

$<{\bf v}, {\bf w}>$

Une autre facon d'ecrire le produit matriciel pour éviter les confusions, est d'utiliser les signes < et > ce qui donne <a, b> pour le produit scalaire entre a et b. Avec cette notation l'erreur de lecture du produit scalaire avec le point disparait :

$$ A^{-1} \, < A \, {\bf v} \,, \, {\bf w}> $$

Parfois on utilise les parenthèses à la place de inférieur et supérieur mais je trouve cela moins lisible.