Lorsqu'on résout un système d'équations, il est nécessaire d'utiliser un système métrique cohérent. Rien n'empèche de choisir le plus farfelu possible tant qu'il est cohérent. Il faut alors donner toutes les constantes physiques dans ce système, définir le domaine, donner les conditions limites et lire les résultats toujours dans ce même système.
Puisqu'on peut utiliser le système métrique de son choix, choisissons un système qui permette de deviner a priori à quel type d'écoulement on aura à faire.
Choisissons donc un système métrique qui permette d'écrire les équations de Navier-Stokes en fonction d'un seul paramètre prenant en compte toutes les caractéristiques de l'écoulement (la vitesse d'entrée, la taille du domaine, la densité et la viscosité). On choisit pour cela une vitesse caractéristique U et une taille caractéristique L du domaine. Il est préférable de choisir ces deux valeurs au même endroit du domaine (à l'entrée du flux par exemple : L=taille de l'entrée et U=vitesse maximale à l'entrée). En divisant la vitesse par U et les tailles par L on a :
et
Les nouvelles variables (étoilées) sont adimensionnées.
Le système métrique est en L pour les dimensions, en
L/U pour le temps et en pour la pression
.
Écrivons maintenant les équations de Navier-Stokes pour
un fluide incompressible newtonien (cf (
)) dans ce système.
On a après calculs et en considérant que les opérateurs gradient,
divergence et laplacien sont maintenant
définis par rapport aux coordonnées
adimensionnées :
où
Ce nombre mesure le rapport des forces d'inertie aux forces de viscosité .
On constate que notre système ne dépend plus que du nombre de Reynolds, les variable étoilées étant adimensionnées. Le nombre de Reynolds est donc suffisant pour savoir quel est le type d'écoulement.
, les forces
visqueuses (le Laplacien) dominent et l'écoulement est laminaire. Ce type
d'écoulement se calcule simplement, le maillage peut être assez
grossier.Voici ce que donne une variation du nombre de Reynolds pour un écoulement autour d'une sphère. Un écoulement de Stokes (Re=0) serait laminaire, sans recirculation ni perturbation derrière la sphère.
.5cm
-.5cm
Figure: Écoulement autour d'une sphère à Reynolds 15000 et 30000
(photos de l'ONERA).
En ordonnant différemment les calculs d'adimensionnement et on peut arriver au système suivant :
où la pression est maintenant .
Grâce à cette écriture, on obtient les équations de Stokes qui correspondent au équations de Navier-Stokes pour Re=0 :
À l'opposé, lorsque le Reynolds est grand, on a, en utilisant la première écriture, les équations d'Euler :
On préférera ainsi la première écriture pour les écoulements à haut Reynolds et la seconde pour ceux à faible Reynolds. Ainsi, lors de la définition du problème dans FIDAP,
